普段めったに行かない本屋へ。

時間があったので。

本題に移る前に、昨日は

ひなちゃんとやっさんの振袖姿に

少し萌えたので、写真を貼っておく。

おふたりともモダン柄の振袖が

とても良く似合っている。

また、姫路城に向かう大通りにあった

オレンジの看板もついでに貼る。

本題に戻ると、

昨日は久しぶりに寄った本屋で受験本を

手にした。

この時期になると受験問題が気になって、

数ⅡBあたりの本を適当に選んで開いてみると

「数列」の文字が目に入った。

昔、友人とよく議論したなぁと

懐かしさがこみ上げる。

等差数列、等比数列、漸化式､､､

そして数学的帰納法なんかもあったなぁと。

最初を固めて、あとはドミノ式にやるやつ。

これホントに証明になってるの？ なんて

高校の先生に詰め寄ったこともあったなぁと。 

当時は何か誤魔化されたようなそんな感じだった。

教科書の例題なんかには

命題:

自然数nについて

1 + 2 + 3 + ・・・ + n = n（n+1）/2  ..... ①

を示せ

なんてのがあるが、これを解くのに用いたりする。

ちょっと簡単にやってみると、

n=1のとき

左辺=1

右辺=1（1+1）/2=1

∴ ①が成立  ..... （ⅰ）

次に、

n=kのとき①が成立すると仮定し .... A

n=k+1のときを考える

左辺 = 1 + 2 + 3 + ・・・ k + （k+1）

　　 = k（k+1）/2 + （k+1）    （∵ A ）

　　 = （k+1）（k+2）/2

　　 = ①の右辺

∴ ①が成立  ..... （ⅱ）

（ⅰ）（ⅱ）により、自然数nについて

命題は真

以上

てな感じ。

でも、よく考えてみると、

ホントにこれで自然数n（"全ての"自然数n）

について言えるの？なんて疑問が。

実はこれ、自然数の公理と密接な関係が

あって集合論的に説明すると､､､

ちょっと難しくなるので、関心のある方は

ググって見てください。

ちなみに、帰納法という名がついているものの

正確には、帰納法っぽい演繹法。

帰納法とは、経験的実証的事実によって

示された個別的具体的事象の集積から

普遍的な法則や一般的な理論を導き出す

推論方法で、物理学等に用いられる。

何が言いたいかというと、基本的に例外の

許されない数学の世界ではこの手法はNG。

言い方を変えると数学の手法はすべて演繹法。

（論理学的にはです）

数学的帰納法という言い方をしているのは

帰納法 "のような" 証明法ということ。

名前の中に「数学的」と入ってることが

それを示している（んじゃないかな）。

こんなことを、高校生の時同じ数学好きの

友人たちと散々議論した。

そう言えば、友人の提案で数学の教科書を

後ろから読み進めたりもした。

当然最初から分からないことだらけだが、

その度に辞書を引くように、前のページに

その定義を探す。一見おかしなやり方だが、

これが実はベストな勉強法だったなぁと。

特に、難関校の受験数学はその殆どが

定義を正確に理解しているかを問うもの

だったので、応用問題よりも基本を固める

ことに時間を費やした。

数学漬けのあの頃が本当に懐かしい。

誰も思い付かないようなスマートな

解法を見つけることに躍起になっていた

中学高校時代。もう一度あの頃に戻りたい。

いやぁ、あれこれ書いていたらこんな時間に

なってしまった。

もう寝よう。

と言いつつ、最後に①の命題について。

ひっくり返して上下足すと全てn+1になって

でもってそれがn個あるからnかけて、

最後に半分にすりゃいい。

数学的帰納法なんてややこしいものを

持ち出す必要がないんですね。

1 +    2    +    3     + ・・・ + （n-2）+（n-1）+ n

n + （n-1）+ （n-2） + ・・・ +     3   +    2   + 1

こっちのほうがスマート。

これ、かの有名な数学者ガウスが幼少期に

やったことで広く知られていますね。